描述分形中的自相似性

分形是具有自相似性的几何形状。自相似性是指一个几何形状在不同尺度上看起来相同或相似。例如，一个雪花在显微镜下看起来像是一个缩小版的雪花。分形的自相似性可以通过递归的方法来创造，其中一个形状被反复地复制并放置在其自身内部。

自相似性的例子

自然界中有很多分形结构的例子，包括：

• 海岸线
• 树枝
• 云朵
• 河流
• 山脉

这些结构在不同尺度上都表现出相似的模式。

分形的创建

分形可以通过多种方法创建，包括：

• 递归方法：在这种方法中，一个形状被反复地复制并放置在其自身内部。
• 迭代函数系统（IFS）：IFS是一种算法，通过使用一系列几何变换来创建分形。
• L系统：L系统是一种基于规则的系统，通过迭代地应用生产规则来创建分形。

分形的应用

分形在各个领域都有应用，包括：

• 计算机图形学：分形可用于创建逼真的自然景观和纹理。
• 医学：分形可用于分析肿瘤和其他不规则形状的结构。
• 物理学：分形可用于模拟湍流和其他复杂现象。
• 经济学：分形可用于分析金融市场波动。

分形中的豪斯多夫维数

豪斯多夫维数是一个测量分形维度的数学概念。豪斯多夫维数是分形的维数，它介于拓扑维数和欧几里德维数之间。

例如，一条直线的拓扑维数为1，欧几里德维数也为1。但是，一条科赫曲线是一个分形，其豪斯多夫维数约为1.26。

分形中的碎形维数

碎形维数是测量分形碎裂程度的另一个数学概念。碎形维数介于0和2之间。碎形维数为0的结构完全光滑，而碎形维数为2的结构非常粗糙。

例如，一个平面的碎形维数为2，而一个康托尔集合的碎形维数约为0.63。

分形的数学

分形是一个迷人的数学概念，它具有广泛的应用。分形的自相似性是其一个重要的特征，它使得分形具有与其他几何形状不同的独特属性。

参考文献

• Mandelbrot, B. B. (1983). The fractal geometry of nature . W. H. Freeman and Company.
• Peitgen, H.-O., Jürgens, H., & Saupe, D. (2004). Fractals for the classroom . Springer Science & Business Media.
• Falconer, K. J. (2014). Fractal geometry: mathematical foundations and applications . John Wiley & Sons.

---

自相似现象及其统一性

自相似(self-similarity)是局部与整体相似的现象。 自相似在自然界广泛存在，例如黄金分割、斐波那契数列、分形等等，它们之间有着深刻联系。 黄金分割产生于线段的较长部分与整体之比等于较短部分与较长部分之比：d:1=(1-d):d。 如果我们以增长的方式来看黄金分割，将较长部分看成较短部分增长后的整体，会发现其实就是部分和整体的相似。 如图1所示，一个黄金矩形的宽延长长的长度，也就是补上一个正方形，又成了一个黄金矩形，可以不断由黄金矩形增长出黄金矩形。 如图2所示，简单的数字1通过简单而统一的规则不断接近黄金分割，显然也是以自相似的方式增长的过程。 再来看看著名的斐波那契数列：1，1，2，3，5，8······ 相邻两个斐波那契数的比值随序号的增加而逐渐趋于黄金分割比，即f(n)/f(n-1)→0.618···。 这是因为斐波那契数列的前两项之和作为后一项的值，这种增长模式非常类似黄金矩形的增长。 事实上，以任意两个数开始按前两项之和作为后一项的值的方式增长，最后相邻两项的比值都会趋于黄金分割比。 帕斯卡三角也是自相似的体现，其来自于的系数。 不断和自身相乘的过程与前两个数相加生成后一个数相似，在帕斯卡三角中已经有所体现：上方两个数之和为下方的数。 因此帕斯卡三角中隐藏着斐波那契数列，如图3所示。 不仅如此，帕斯卡三角里还藏有谢尔宾斯基三角形，这是一个很常见的分形图案，而分形可以说是最典型的自相似了。 如图4所示，把帕斯卡三角中所有偶数项剔除，就能得到谢尔宾斯基三角形（图5）。 我们可以看到即使是千差万别的自相似现象之间也是存在联系的，本质上都是同一规律的不同表现，这体现了大自然的简单之美。 更深层次的解释可以参考笔者的论文 《一切都是守恒的——理解世界的一种新方式》 。

自相似与自仿射

3.1.1 自相似与自仿射定义

1.自相似定义

分形混沌与矿产预测

其中X=（x ，x ，…，x ）表示E 中的一个点或径矢量，r为一实数.（3.1.1）式的几何意义：矢量X与rX相互平行，当r＞0时，二者同向；当r＜0时，二者反向.矢量X与rX的模成正比，当r＞1时，rX的模增大；当r＜1时，rX的模减小.

2.自仿射定义

分形混沌与矿产预测

其中X=（x ，x ，…，x ）表示E 中的一个点或径矢量，r （i=1，2，…，n）为实数.（3.1.2）式说明，自仿射不仅改变了矢量X的方向，也改变了X的模.

下面我们给出用函数形式描述的自相似和自仿射的定义.

如果函数f（ax）可以写成：

分形混沌与矿产预测

则f（x）是一个齐次函数.

由f（abx）=g（a）g（b）f（x）=g（ab）f（x）可得：

分形混沌与矿产预测

对（3.1.4）式关于b求导可得：

分形混沌与矿产预测

令b=1，g′（1）=p，由（3.1.3）可知g（1）=1，于是得到如下的定解问题：

分形混沌与矿产预测

其解为g（a）=a ，于是（3.1.3）式可以改写成：

分形混沌与矿产预测

此时，f（x）是p次齐次函数.在（3.1.7）式中，令a=x ，f（x）=f（1）x .由此可见，齐次函数f（x）是x的幂函数.

两个变量的广义齐次函数f（x，y）可以写成如下形式：

分形混沌与矿产预测

式中p ，p 是常数，叫做标度变换：

分形混沌与矿产预测

的标度量纲数.

一般地，如果：

分形混沌与矿产预测

恒成立，则称n元函数f（x ，x ，…，x ）具有自仿射性质（在数学上，称n元函数f（x ，x ，…，x ）为q次齐次函数）.

当变量x （i=1，2，…，n）的标度变换完全相等时，即：

分形混沌与矿产预测

成立，则称n元函数f（x ，x ，…，x ）具有自相似性质.

地形是自相似分形与自仿射分形的一个例子.在水平的两个方向上地形经常是自相似的.垂直坐标随水平坐标的变化是统计性的关系，而且变化的大小比水平坐标要小的多，这类的垂直剖面图常常是自仿射的.现在有一种用硬塑胶片制成的立体地图，山脉，盆地，河谷等地貌在这种立体地图上清晰可见.这种立体地图实际上是某一地区地形表面的仿射变化.立体地图在水平方向（经纬度方向）和垂直方向（地形的高程）的比例尺是不同的.如水平方向的比例是1∶30万而高程方向的比例1∶3万.多数地形是自仿射分形的；当我们记录地球物理场随时间的变化时所得到的时间序列可以用自仿射分形分析的方法处理.自仿射分形分析是处理声阻抗-岩心深度、地面高程-经度等多种函数关系的有利工具.

多重（多标度）分形描述的是分形几何体在变化（或生长）过程中不同层次的特征.

统计自相似分形是各向同性的，即在由x和y坐标所确定的二维情况下，结果与x轴和y轴的几何取向无关.二维xy空间统计自相似的定义：f（rx，ry）与f（x，y）是统计相似的，其中r是一个标度因子.若用来覆盖海岸线的尺度为x ，y 的盒子数是N 的话，则用尺度rx ，ry 的盒子覆盖海岸线所需要的盒子数N ，在海岸线是自相似的前提下，有关系：N /N =r .

统计自仿射分形不是各向同性的.在二维xy空间统计自仿射的定义：f（rx，r y）与f（x，y）是统计相似的，其中H叫做Hausdorff测度.在应用数盒子方法时，随着盒子大小的增加，正方形的盒子变成越来越长的长方形盒子.

Brown运动曲线是自仿射统计分形：若用t代表时间，用B（t）代表Brown运动与初始位置的偏离，显然B（t）是一簇随机变化的曲线簇.可以证明：

分形混沌与矿产预测

其中，T是研究Brown运动的时间段［0，T］的上限.如果取标准差σ（B（t））作为描述该曲线的统计特征量，则有：

分形混沌与矿产预测

上式说明Brown运动曲线是自仿射统计分形.

Mandelbrot推广了Brown运动的概念，引入分数Brown运动（fractal Brown motion），简写为fBm.所谓分数Brown运动是指研究时间段［0，T］上的一个随机的时间函数B （t），它具有以下统计特征：

分形混沌与矿产预测

如果取标准差σ（B （t））作为它的统计特征量，则：

分形混沌与矿产预测

所以：f（bt）∝b f（t）.由定义可知，分数Brown运动是一个自仿射统计分形，即B （t）和（1/b ）B （bt）在统计上是没有区别的.

我们用数盒子方法来求fBm的局部分维数.研究定义在［0，T］区间上的作为时间函数的fBm.引入一个参考的长方形盒子，它的宽度是T，高度为σ =σ（T）.然后，我们把区间T分成n个相等的长度T =T/n，取长为T ，高为σ =σ /n的小盒子，显然小盒子的宽和高之比与原来的参考盒子是一样的.但是与每个T 相应的fBm的标准差却不等于σ ，而是σ =σ（T ）.下面来确定用大小为T ×σ 的盒子覆盖宽T、高σ 的盒子数N ，易知N 为

分形混沌与矿产预测

而σ ∝T ，代入上式可得：

分形混沌与矿产预测

联系到基本的统计分形关系式：

分形混沌与矿产预测

于是，有D=2-H这就是自仿射分形中求局部（local）分维数的公式，它将分维D与Hurst指数联系了起来.

自仿射分形的重要特点是它的各向异性.当对Brown运动曲线进行放大时，在t轴放大了b倍，而在纵坐标方向放大b 倍.由于H是位于［0，1］区间的指数，一般小于1.当b很大时（b→∞），在时间轴上的放大率比纵轴方向的放大率大，从整体来看，曲线越来越平直.b→∞的极限情况下，曲线变成了一条直线.一条直线的维数D=1，称为自仿射分形的（整体）维数（global dimension）.

如果b值不是太大时，无论放大或缩小，自仿射曲线将随时间而起伏变化，这时求出的维数D=2-H叫做局部维数（local dimension）.

对于自仿射分形，描述整体行为的分形维数与描述局部行为的分形维数不相等，这一点表明了它具有与自相似分形完全不同的特点.自仿射分形维数与所选择的单位有关.如果选择的单位比较大，则测出来的是整体维数，若选择的测量单位比较小，则可以测出曲线的局部分形维数.

3.1.2 相关分析和功率谱函数

如果一个随机变量B（t），定义其自相关函数R（t，τ）为：

分形混沌与矿产预测

显然，R（t，τ）是一个与t和τ有关的随机函数.在各态历经假设下，若B（t）是一平稳随机过程，则 E［B（t）］=0，自相关函数R（t，τ）与t无关，其自相关函数变成了R（τ），它不再是随机函数.显然：

分形混沌与矿产预测

式（3.1.11）建立了自相关函数R（τ）与B（t）方差之间的关系；方差就是τ=0时的自相关函数.

功率谱分析在统计分析中是一个有用的工具.我们知道，Fourier分析也是一种常用的谱分析技术，但是随机函数的Fourier谱也是随机函数.因此，一般不用Fourier分析.而随机函数的功率谱不是随机函数，是确定的函数，分析统计现象时经常用功率谱.

与自相关函数有对应关系的是功率谱函数，简称谱密度函数S（ω），它定义为：

分形混沌与矿产预测

下面来说明，为什么和相关函数R（τ）对应的S（ω）是功率谱密度.

如果B（t）表示一质点对平衡位置的位移，系统的刚度K=1，则KB（t）为内力，（1/2）KB（t） 为单位时间内的应变能，则在振动持续时间T之内的总应变能为：

分形混沌与矿产预测

功率为：

分形混沌与矿产预测

将式（3.1.11）代入并略去常系数：

分形混沌与矿产预测

另一方面，功率是由各种频率成分贡献而成：

分形混沌与矿产预测

式中，S（ω）dω代表了（ω，ω+dω）内频率成分对总功率的贡献，这就是为什么S（ω）被称为功率谱密度的缘故.

从上面讨论可知，对于一般的平稳随机现象：

分形混沌与矿产预测

而对于自仿射fBm的特定条件，若B（t）∈［0，T］：

分形混沌与矿产预测

将上面3个公式合并考虑，并注意到T=2π/ω，有：

分形混沌与矿产预测

上式成立的充分必要条件是（详见文献，分形与混沌——在地质学和地球物理学中的应用，1993年，p.81）：

分形混沌与矿产预测

且

分形混沌与矿产预测

考虑到式D=2-H，我们可将描述自仿射分形的3个参数D，H和β的关系写成如下：

分形混沌与矿产预测

3.1.3 检验与定量评定自仿射分形的方法

Sapozhnikov和Foufoula-Georgiou（1995）提出了一个检验与定量评定任何复杂几何图形（如交织的河流）自仿射性质的方法.该方法称为对数相关积分方法，它能估计出研究对象的分维数.

设X和Y是一个长方形的两个边，M（X，Y）是用边长分别为X和Y的长方形覆盖研究对象或物体所需要的数目.由空间标度性质，可推出下面的关系：

分形混沌与矿产预测

其中ν 与ν 分别是X与Y方向的分维数.

式（3.1.18）可改写以下形式：

分形混沌与矿产预测

令x=lgX，y=lgY，z=lgM，可得：

分形混沌与矿产预测

或

分形混沌与矿产预测

其中z（x，y）称为对数相关积分函数.

比较等式（3.1.21）和

分形混沌与矿产预测

我们可推出：

分形混沌与矿产预测

等式（3.1.23）提供了检验研究对象的空间尺度不变性存在和自仿射物体分维数ν 与ν 的估计方法.我们通过直接计算M（X，Y），可得到对数相关积分函数z（x，y），然后计算偏导数∂z（x，y）/∂x与∂z（x，y）/∂y，并用它们检验线性关系等式（3.1.23）是否成立.如果成立，就可以得到ν 与ν 的值.1/ν 与-ν /ν 分别是最佳拟合直线的截距和斜率.

注：关于如何求出ν ，ν ，及检验等式（3.1.23）见文献Sapozhnikov和Foufoula-Georgiou（1995年）.

相似性的自相似性

分形（英语：Fractal），又称碎形，通常被定义为“一个粗糙或零碎的几何形状，可以分成数个部分，且每一部分都（至少近似地）是整体缩小后的形状”，即具有自相似的性质。 分形思想的根源可以追溯到公元17世纪，而对分形使用严格的数学处理则始于一个世纪后卡尔·魏尔施特拉斯、格奥尔格·康托尔和费利克斯·豪斯多夫对连续而不可微函数的研究。 但是分形（fractal）一词直到1975年才由本华·曼德博创造出，来自拉丁文frāctus，有“零碎”、“破裂”之意。 一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统。 分形有几种类型，可以分别依据表现出的精确自相似性、半自相似性和统计自相似性来定义。 虽然分形是一个数学构造，它们同样可以在自然界中被找到，这使得它们被划入艺术作品的范畴。 分形在医学、土力学、地震学和技术分析中都有应用。 分形也可以依据其自相似来分类，有如下三种：精确自相似：这是最强的一种自相似，分形在任一尺度下都显得一样。 由迭代函数系统定义出的分形通常会展现出精确自相似来。 半自相似：这是一种较松的自相似，分形在不同尺度下会显得大略（但非精确）相同。 半自相似分形包含有整个分形扭曲及退化形式的缩小尺寸。 由递推关系式定义出的分形通常会是半自相似，但不会是精确自相似。 统计自相似：这是最弱的一种自相似，这种分形在不同尺度下都能保有固定的数值或统计测度。 大多数对“分形”合理的定义自然会导致某一类型的统计自相似（分形维数本身即是个在不同尺度下都保持固定的数值测度）。 随机分形是统计自相似，但非精确及半自相似的分形的一个例子。

TAG:描述分形中的自相似性